Comment trouver l’équilibre de Nash ?
Introduction
Dans le monde des jeux, l’objectif principal est de gagner. Mais comment le joueur peut-il atteindre cet objectif ? La réponse est simple : en adoptant une stratégie efficace. Cependant, trouver la bonne stratégie n’est pas toujours facile, surtout lorsque plusieurs joueurs sont impliqués. C’est là que la théorie des jeux entre en jeu, avec l’un de ses concepts les plus célèbres : l’équilibre de Nash.
La théorie des jeux
La théorie des jeux est une branche des mathématiques appliquées qui étudie les interactions entre les décisions des différents joueurs dans un contexte de situation de jeu. Elle s’intéresse notamment à la manière dont les différents joueurs choisissent leurs stratégies, et comment ces stratégies affectent le gain / la perte de chaque joueur.
Qu’est-ce que l’équilibre de Nash ?
L’équilibre de Nash est un point de situation dans lequel aucun joueur ne peut améliorer son gain en choisissant une stratégie différente, compte tenu de la stratégie des autres joueurs. Autrement dit, c’est une situation dans laquelle chaque joueur a choisi la meilleure réponse possible étant donné les choix des autres joueurs.
Trouver l’équilibre de Nash
Il existe différentes méthodes pour trouver l’équilibre de Nash dans un jeu. Voici l’une d’entre elles :
1. Tout d’abord, il faut identifier le nombre de joueurs impliqués dans le jeu ainsi que les choix possibles pour chaque joueur.
2. Ensuite, il faut lister pour chaque joueur les gains associés à chaque combinaison de stratégies.
3. Après cela, il faut déterminer les meilleures réponses pour chaque joueur, c’est-à-dire la stratégie qui maximise son gain compte tenu des stratégies des autres joueurs.
4. Puis, il faut répéter cette étape pour chaque joueur jusqu’à ce que l’on atteigne une situation où chaque joueur a choisi sa meilleure réponse.
5. Enfin, l’équilibre de Nash est atteint lorsque chaque joueur a choisi la meilleure réponse possible compte tenu des choix des autres joueurs.
Exemple pratique
Prenons l’exemple classique du dilemme du prisonnier. Deux criminels sont arrêtés pour un délit mineur, mais risquent une peine de prison plus lourde s’ils admettent l’avoir commis. Si les deux avouent, ils sont tous deux condamnés à une peine moyenne. Si l’un avoue et l’autre nie, celui qui avoue est libéré et l’autre est condamné à une lourde peine. Si les deux nient, ils évitent la peine maximale, mais sont tous deux condamnés à une peine plus légère.
Dans ce jeu, les deux joueurs ont deux choix possibles : avouer ou ne pas avouer. Les gains associés à chaque « combinaison de stratégies » sont les suivants :
– Si les deux avouent : les deux sont condamnés à 5 ans de prison.
– Si les deux nient : les deux sont condamnés à 1 an de prison.
– Si l’un avoue et l’autre nie : celui qui nie est condamné à 10 ans de prison, tandis que celui qui avoue est libéré.
Pour trouver l’équilibre de Nash dans ce jeu, nous devons déterminer les meilleures réponses pour chaque joueur. Si l’autre joueur avoue, la meilleure réponse est d’avouer également (afin d’éviter la pire peine). Si l’autre joueur nie, la meilleure réponse est de nier également (afin d’éviter la peine la plus lourde). Donc, l’équilibre de Nash est atteint lorsque les deux joueurs choisissent de ne pas avouer.
Conclusion
L’équilibre de Nash est un concept important en théorie des jeux, car il indique une situation dans lequel les joueurs ont tous intérêt à adopter une certaine stratégie. Cependant, il n’y a aucun garantie que chaque jeu possède un équilibre de Nash et que ce dernier soit unique. Pour trouver l’équilibre de Nash dans un jeu, il est donc nécessaire de maîtriser les différentes stratégies qui peuvent être adoptées en fonction des choix des autres joueurs.