Quelles sont les propriétés de l’équilibre de Nash ?
Nash et la théorie des jeux : un bref aperçu
L’équilibre de Nash est un concept clé de la théorie des jeux, développé par le mathématicien américain John Nash dans les années 1950. La théorie des jeux est une branche des mathématiques appliquées qui étudie la prise de décision dans des situations où plusieurs joueurs interagissent. Elle est utilisée en économie, en politique, en biologie, en psychologie et dans d’autres domaines pour modéliser les comportements des individus.
Dans la théorie des jeux, les joueurs choisissent des stratégies pour atteindre leurs objectifs, sachant que les autres joueurs ont leurs propres objectifs et stratégies. L’équilibre de Nash est un état dans lequel chaque joueur choisit la meilleure stratégie en fonction des choix des autres joueurs. Aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie, étant donné les choix des autres joueurs.
Les propriétés de l’équilibre de Nash
L’équilibre de Nash présente plusieurs propriétés intéressantes :
- Stabilité : L’équilibre de Nash est stable car chaque joueur choisit la meilleure stratégie en fonction des actions des autres joueurs. Si un joueur décide de changer de stratégie, il sera désavantagé par rapport aux autres joueurs.
- Efficacité : L’équilibre de Nash est efficace car il conduit au résultat optimal pour l’ensemble des joueurs. Aucun joueur ne peut améliorer sa position en choisissant une autre stratégie.
- Indépendance des alternatives : L’équilibre de Nash est une solution indépendante des alternatives, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’autre équilibre de Nash qui soit préférable pour les joueurs.
Comment l’équilibre de Nash est-il calculé ?
Pour calculer l’équilibre de Nash, on utilise souvent des comptes ou des tableaux. Les joueurs sont les agents, et leurs actions sont les stratégies. Les comptes permettent de décrire les gains ou pertes des joueurs en fonction de leurs stratégies respectives.
Par exemple, supposons que deux joueurs, A et B, jouent au jeu de pierre-papier-ciseaux. Le tableau suivant montre les gains de chaque joueur en fonction de ses choix.
| Pierre/Pierre | Pierre/Papier | Pierre/Ciseaux |
|---|---|---|
| 0/0 | -1/1 | 1/-1 |
| Papier/Pierre | Papier/Papier | Papier/Ciseaux |
| 1/-1 | 0/0 | -1/1 |
| Ciseaux/Pierre | Ciseaux/Papier | Ciseaux/Ciseaux |
| -1/1 | 1/-1 | 0/0 |
L’équilibre de Nash se produit lorsque chaque joueur choisit la meilleure stratégie, sachant ce que l’autre joueur choisit. Dans notre exemple, l’équilibre de Nash est lorsque le joueur A choisit pierre et le joueur B choisit papier. Si A choisissait ciseaux et B choisissait pierre, A perdrait avec un score de -1.
L’équilibre de Nash est-il toujours optimal ?
L’équilibre de Nash n’est pas toujours optimal car il suppose un comportement rationnel de la part des joueurs. Dans de nombreux cas, les joueurs peuvent ne pas être rationnels ou avoir des informations incomplètes. Dans ces cas, l’équilibre de Nash peut ne pas être atteint ou être sous-optimal.
Par exemple, dans le jeu de la tragédie des biens communs, plusieurs agents choisissent individuellement de surconsommer des ressources communes, entraînant finalement l’épuisement des ressources. Dans ce cas, l’équilibre de Nash est sous-optimal car tous les joueurs perdent.
Conclusion
En conclusion, l’équilibre de Nash est un concept important de la théorie des jeux, qui décrit un état stable dans lequel chaque joueur choisit la meilleure stratégie en fonction des choix des autres joueurs. L’équilibre de Nash est efficace, stable et indépendant des alternatives. Cependant, l’équilibre de Nash n’est pas toujours optimal car il suppose un comportement rationnel de la part des joueurs. Cela souligne l’importance de comprendre les comportements des joueurs et les facteurs qui influencent leurs choix de stratégies.